早醒之娱–关于四色问题的简易证明

昨天白天没怎么休息好,晚上早早睡了,搞得今天早上4点多就醒来了。打开手机读了几则国外新闻之后,不经意间浏览到一个关于四色问题的贴文,感觉有点意思,就想了想其证明过程。四色问题,又称四色猜想或四色定理,是说:任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。四色猜想最终被现代计算机所征服。

四色问题有数学家在构图基础上,用归谬法进行了一定程度的数学证明(五色问题)。也就是说推导出在一张地图上国与国之间的相邻数量之间可能性分布的基础上,再讨论可能的着色可能。这是一种顺向思维,我们不妨把这个问题反向转化一下:任何一个国家,就是一个封闭区域。这个区域的闭合线,即边界线可能是折线或曲线,可能是规范的,也可能是不规范的。那这个国家与其它国家相邻的过程,就是对这个国家边界线进行染色的过程。

也就是这些不同的国家将一个国家的边界线,进行了分段染色。对于一个被分段染色的国界线,不管其是否存在折线或是曲线,规范或者不规范,都可以在充分拉伸的情况下,视之为一个光滑的圆环。那么,对一个圆形曲线进行分段染色最少需要多少种颜色,才不会导致存在同色相邻段呢?答案是三种,就如对一条直线进行分段染色,只需要两种颜色即可达到非同色段相邻的效果。前者有如ABABCABAB,后者有如ABABABAB。由于圆环区域颜色不能与圆环上的颜色相同,那就再需要一种颜色,于是一个圆环(3色)+圆(1色)=4种颜色。

我们假定有这么一个国家,就是这样一种ABABCABAB……D四色结构。那么从任何一个分色段延伸出来的邻国(国与国只有一个相邻段),除了这个共有分色段,其它分段染色都是独立的。也就是说,这两个国家或圆环其它段的分段染色是互不干扰的,它们都可以独立地循环出ABABCABAB……D这样的结构。

假定一个国家与另一个国家有两个相邻边界,如ABABABA这样的结构,那A……A之间的部分都可以用B代替,即简化为ABA。这并不会改变ABABCABAB……D这一结构循环。依此类推,一国与另一国有两个以上相邻边界的情况,也不会改变ABABCABAB……D这一结构。

而一个国家与另一个国家在外部相邻的情况下,又存在内部接触(某国内部有一个或多个区域属于另一国)的情况下,由于内部接触部分跟圆环上的颜色是相同的,而圆环上的颜色与圆是不同色的,如此就跟不存在内部接触是一样的,并不会破坏ABABCABAB……D这一结构。

也就是说,不管一国与另一国有多少个相邻边界,都不会破坏ABABCABAB……D这一染色结构的独立性。至此,四色问题得证,这是从一到多的反向作图证明方式。感觉自己这个证明有些太简单了,也不知道是否存在逻辑漏洞,反正个人目前的水平看不出来,权当早醒之娱吧。

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